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섹션 3. 코딩테스트 [실전편] - 11. 동적 계획법

⬛ 11. 동적 계획법

⬛ 11-1. 동적 계획법 DP

🟦 동적 계획법

복잡한 문제를 여러 개의 단순한 문제로 분리하여, 부분 문제들을 해결함으로써 최종적으로 복잡한 문제의 답을 구하는 방식

🟧 동적계획법 원리와 구현

1) 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있어야 한다.
2) 작은 문제들이 반복되어 나타나고, 이 작은 문제들의 결과값이 항상 같아야 한다.
3) 메모이제이션 기법을 사용 : 모든 작은 문제들을 한 번만 계산하여 미리 DP 테이블에 저장해놓고, 추후 재사용 시 DP 테이블을 이용하는 방식
4) 동적 계획법 구현 방식 2가지 : (1) 톱 다운 방식 (2) 바텀 업 방식

🟦 예시 : 피보나치 수열 문제

피보나치 수열은 규칙성이 존재하는데 그 점화식은 다음과 같다.

D[N] = D[N-1] + D[N-2];

1) 동적 계획법으로 풀 수 있는지 확인

위의 점화식 규칙성에 따르면 예를 들어 6번째 수열의 값은 = 5번째, 4번째 수열 값을 구하는 작은 문제로 다시 쪼갤 수 있다. 또한, 그 결과값이 항상 동일하기 때문에 DP로 풀 수 있는 문제이다.

2) 점화식 세우기

논리적으로 전체 문제를 나누고, 전체 문제-부분 문제 간의 인과관계 파악이 중요

3) 메모이제이션 원리 이해하기

부분 문제를 푼 결과를 DP 테이블에 저장해둔 다음, 추후 재사용 시 계산없이 DP테이블의 값을 이용하는 것이 메모이제이션이다.
최초로 DP 테이블에 값을 구해둔 뒤, 이후에 다시 값이 필요하면 DP 테이블의 값을 이용하여 풀 수 있어야 한다.

구현 1) 톱-다운 방식

위에서부터 문제를 파악하여 내려오는 방식
주로 재귀함수 형태로 코드 구현한다.
코드 가독성 좋고, 이해하기 편하다

구현 2) 바텀-업 방식

가장 작은 문제부터 해결하면서 점차 큰 문제로 확장해나가는 방식
주로 반복문 형태로 구현한다.

🏓좀 더 안전한 방식은 ‘바텀-업’이다. 톱 다운의 경우 재귀의 깊이가 깊어질 경우 런타임 에러가 발생할 수 있기 때문이다. 다만, 그 부분까지 고려할 문제는 잘 나오지 않는다.

🟦 백준 1463번. 정수를 1로 만들기

문제

정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 세 가지 이다.

X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
1을 뺀다.

정수 N이 주어졌을 때, 위와 같은 연산 세 개를 적절히 사용해서 1을 만들려고 한다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하시오.

입력

첫째 줄에 1보다 크거나 같고, 106보다 작거나 같은 정수 N이 주어진다.

출력

첫째 줄에 연산을 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

풀이

이 문제는 위에서 말한 3가지 연산을 ‘바텀-업’ 방식으로 구현할 수 있는지 묻는 문제이다.
주어진 조건을 점화식으로 변형하여 코드화 시켜야한다.

(1) 먼저 이 문제에서의 D[i] 배열의 의미를 정의한다.

D[i] : 숫자 i를 1로 만드는 데 필요한 '최소 연산 횟수' 저장

(2) 점화식을 구해야 한다.

D[i] = D[i-1] + 1;// 1을 뺴는 연산에 대한 +1처리
if(i%2 ==0) {
	  D[i] = min( D[i], D[i/2] + 1);
}
if(i%3 ==0) {
		D[i] = min( D[i], D[i/3] + 1);
}

(3) 점화식을 이용하여 D배열을 채운다.

(4) D[N]을 출력한다

import java.util.Scanner;

//DP문제 1463번. 1로 만들기 
public class Main {
	static int N;
	static int[] D;
	//실해 메인
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner kb= new Scanner(System.in);
		
		N = kb.nextInt();
		D = new int[N+1];
		
		//초기화 
		D[1] = 0; //1은 더이상 연산할 필요 없는 숫자이므로 1초기화 
		for(int i=2; i<=N; i++) {
			D[i] = D[i-1] + 1;
			if(i%2 ==0) D[i] = Math.min(D[i] , D[i/2]+1);
			if(i%3 == 0) D[i] = Math.min(D[i], D[i/3]+1);
		}		
		//정답 출력 
		System.out.println(D[N]);
	}
}

🟦 백준 14501번. 퇴사

문제

상담원으로 일하고 있는 백준이는 퇴사를 하려고 한다.

오늘부터 N+1일째 되는 날 퇴사를 하기 위해서, 남은 N일 동안 최대한 많은 상담을 하려고 한다.

백준이는 비서에게 최대한 많은 상담을 잡으라고 부탁을 했고, 비서는 하루에 하나씩 서로 다른 사람의 상담을 잡아놓았다.

각각의 상담은 상담을 완료하는데 걸리는 기간 Ti와 상담을 했을 때 받을 수 있는 금액 Pi로 이루어져 있다.

N = 7인 경우에 다음과 같은 상담 일정표를 보자.

1일에 잡혀있는 상담은 총 3일이 걸리며, 상담했을 때 받을 수 있는 금액은 10이다. 5일에 잡혀있는 상담은 총 2일이 걸리며, 받을 수 있는 금액은 15이다.

상담을 하는데 필요한 기간은 1일보다 클 수 있기 때문에, 모든 상담을 할 수는 없다. 예를 들어서 1일에 상담을 하게 되면, 2일, 3일에 있는 상담은 할 수 없게 된다. 2일에 있는 상담을 하게 되면, 3, 4, 5, 6일에 잡혀있는 상담은 할 수 없다.

또한, N+1일째에는 회사에 없기 때문에, 6, 7일에 있는 상담을 할 수 없다.

퇴사 전에 할 수 있는 상담의 최대 이익은 1일, 4일, 5일에 있는 상담을 하는 것이며, 이때의 이익은 10+20+15=45이다.

상담을 적절히 했을 때, 백준이가 얻을 수 있는 최대 수익을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 N (1 ≤ N ≤ 15)이 주어진다.

둘째 줄부터 N개의 줄에 Ti와 Pi가 공백으로 구분되어서 주어지며, 1일부터 N일까지 순서대로 주어진다. (1 ≤ Ti ≤ 5, 1 ≤ Pi ≤ 1,000)

출력

첫째 줄에 백준이가 얻을 수 있는 최대 이익을 출력한다.

풀이

D[i]의 정의 : i일 부터 퇴사전까지 얻는 최대 이익 담기
점화식

1) i일째의 일을 했을 때 퇴사일까지 안끝나는 일이면 이 일 못함

D[i] = D[i+1] // 즉, 건너뛰고 다음날부터 끝까지 최대수익을 담음

2) i일째의 일을 해도 퇴사 전에 끝나는 일이면 비교

D[i] = Math.max(D[i+1] , D[i+T[i] ] + P[i] )

즉, i번쨰 일 안하고 건너뛰기 vs i일 비용 + i일끝난 뒤의 최대수익 비교하여 더 수익 큰 값으로 세팅

import java.util.Scanner;

/*14501번. 퇴사 */
public class Main {
	static int N;
	static int[] T, P, D;//시간, 금액, DP
	//실행 메인 
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner kb= new Scanner(System.in);
		
		N = kb.nextInt();
		//퇴사일은 N+1이다.
		
		//초기화
		T = new int[N+1];
		P = new int[N+1];
		
		//D[i] 정의 : i일부터 퇴사 전까지 최대 수익 
		D = new int[N+2];//1~N+1까지의 수익 구해야 해서 
		
		for(int i=1; i<=N; i++) {
			T[i] = kb.nextInt(); //시간
			P[i] = kb.nextInt(); //금액 
		}
		
		//퇴사일 전까지 최댓값 세팅 
		for(int i=N; i>0; i--) { //역순 정렬 
			if(N+1 < i+ T[i]) { //i일부터의 근로가 퇴사일 넘어가면 
				D[i] = D[i+1];//오늘 제외하고, i+1일부터 퇴사전까지의 최댓값을 옮겨옴
			}else{
					//D[i]일 넘기고 i+1일부터 한 거 vs D[i]일의 근로한 거 
				D[i] = Math.max(D[i+1], D[i + T[i]] + P[i]);
			}
		}
		
		System.out.println(D[1]);
	}
}

🟦 백준 2193번. 이친수 구하기

문제

0과 1로만 이루어진 수를 이진수라 한다. 이러한 이진수 중 특별한 성질을 갖는 것들이 있는데, 이들을 이친수(pinary number)라 한다. 이친수는 다음의 성질을 만족한다.

이친수는 0으로 시작하지 않는다.
이친수에서는 1이 두 번 연속으로 나타나지 않는다. 즉, 11을 부분 문자열로 갖지 않는다.

예를 들면 1, 10, 100, 101, 1000, 1001 등이 이친수가 된다. 하지만 0010101이나 101101은 각각 1, 2번 규칙에 위배되므로 이친수가 아니다.

N(1 ≤ N ≤ 90)이 주어졌을 때, N자리 이친수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 N이 주어진다.

출력

첫째 줄에 N자리 이친수의 개수를 출력한다.

풀이

D[i][0] : i자릿수에서 끝이 0으로 끝나는 이친수 개수
D[i][1] : i자릿수에서 끝이 1로 끝나는 이친수 개수

import java.util.Scanner;

/*백준 2193번. 이친수 */
public class Main {
	//실행 메인 
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner kb = new Scanner(System.in);
		int N = kb.nextInt();
		long D[][] = new long[N+1][2]; //N의 자릿수에서 0으로 끝나는 vs 1로 끝나는 이친수 개수 
		D[1][1] = 1;//1개
		D[1][0] = 0; 
		for(int i=2; i<=N; i++) {
			D[i][0] = D[i-1][0] + D[i-1][1];//0또는1로 끝나는 모든 수에 0 붙일 수 있음
			D[i][1] = D[i-1][0];//0으로 끝나는 수에만 0 붙일 수 있음 
		}
		System.out.println(D[N][0]+D[N][1]);//모든 이친수 개수
	}
}