섹션 3. 코딩테스트 [실전편] - 10. 조합

섹션 3. 코딩테스트 [실전편] - 10. 조합

⬛ 10. 조합

• 동적 계획법을 이해하는 기초가 됨
• 조합 점화식 도출 방법을 제대로 이해하자.

⬛ 10-1. 조합 알아보기

🟦 조합 Combination | nCr

• 조합 : n개의 숫자에서 r개를 뽑는 경우의 수
• cf. 순열 : n개의 숫자에서 r개를 뽑고, 그 순서를 나열
• 일반적으로 조합을 구현할 때는 점화식을 이용

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🟧 조합 구현하는 방식

1. 특정 문제를 가정하기

• 예를 들어. 5개의 데이터 중 3개를 선택하는 경우의 수를 구한다고 가정해보자.

2. 모든 부분 문제가 해결됐다고 가정하고, 지금 문제만 생각하기

• 5개 중에서 4개의 데이터들의 선택 여부를 모두 고려했다고 생각하고.
• 지금 시점은 가장 마지막 (5번째) 데이터의 선택 여부를 고려하는 중이라고 생각해본다.
• 경우의 수는 크게 2가지로 나뉜다.
• 1) 마지막 데이터도 선택(이전 4개 데이터 중 2개 선택) : 4C2 = 6
• 2) 마지막 데이터는 선택X (이전 4개 데이터 중 3개 모두 선택) : 4C3 = 4

⇒ 두 경우의 수를 합치면 전체 경우의 수가 된다.

5C3 = 4C2 + 4C3 = 10

→ 여기서 도출한 특정 문제 점화식으로 표현할 경우

D[5][3] = D[4][2] + D[4][3] 이다

3. 특정 문제 해결한 내용 바탕으로 일반 점화식 도출하기

• 이제 위의 점화식을 일반 점화식으로 더 확장해서 생각해보자.

D[i][j] = D[i-1][j] + D[i-1][j-1]

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🟧 문제 도출하기

1) DP 배열 초기화

• DP[][]의 배열 정의가 제일 중요하다.
• 크기는 DP[N+1][N+1] 로 선언

D[i][i] = 1;//자기 자신 뽑는 거 1개
D[i][0] = 1; //nC0 =1
D[i][1] = i; //nC1 = n개

2) 점화식으로 나머지 부분의 DP 배열 값도 채운다.

D[i][j] = D[i-1][j] + D[i-1][j-1]

3) D[N][K] 의 값 출력한다.

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🟦 백준 11050번. 이항 계수 구하기 1

• nCk의 값을 도출해내는 문제이다.

package to_0710_1;

import java.util.Scanner;

/*백준 11050번. 이항 계수 1 */
public class Main {
	static int N, K;
	static int[][] DP;//배열 
	
	//실행 메인 
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner kb = new Scanner(System.in);
			
		N = kb.nextInt();
		K = kb.nextInt();
		
		//초기화
		DP=new int[N+1][N+1];
		for(int i=0; i<=N; i++) {
			DP[i][i] = 1; //자기 자신 뽑는 게 1개 
			DP[i][1] = i; //nC1= n개 
			DP[i][0] = 1;
		}
		//배열 값 점화식 기반으로 세팅 
		for(int i=2; i<=N; i++) { //전체 개수 확장 
			for(int j=1; j<i; j++) { //뽑는 개수는 전체 개수 넘어설 수 없음 
				DP[i][j] = DP[i-1][j] + DP[i-1][j-1];//값 세팅 
			}
		}
		System.out.println(DP[N][K]);//NCK 구함 
	}
}

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⬛ 모듈러 연산 | modulo operation = 나머지 연산

• 어떤 한 숫자를 다른 숫자로 나눈 나머지를 구하는 연산

[모듈러 연산의 특징]

• 모듈러 연산을 A, B에 각각 수행한 것과 두 수를 더한 후 수행한 것의 값이 동일하다. 즉, D배열의 값이 나올 때마다 모듈러 연사 수행하는 로직만 추가하면 문제 해결이 가능하다.

(A mod N + B mod N) mod N = (A+B) mod N 

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🟦 백준 11051번. 이항 계수 구하기 2

import java.util.Scanner;

/*11051번. 이항 계수 2 */
public class Main {
	static int N, K;
	static int[][] D;
	//실행 메인 
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner kb= new Scanner(System.in);
		N = kb.nextInt();
		K = kb.nextInt();
		//초기화
		D = new int[N+1][N+1];		
		for(int i=0; i<=N; i++) {
			D[i][1] = i;
			D[i][0] = 1;
			D[i][i] = 1;
		}
		//데이터에 점화식 기반으로 값 세팅
		 for(int i=2; i<=N; i++) {
			 for(int j=1; j<=i; j++) {
				 D[i][j] = D[i-1][j] + D[i-1][j-1];
				 //10007로 모듈러 연산 한 뒤 다시 세팅 
				 D[i][j] = D[i][j] % 10007;
			 }
		 }
		 //D[n][k] 구하기
		 System.out.println(D[N][K]);
	}
}

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🟦 백준 2775번. 부녀회장이 될테야

• 이 문제는 점화식을 직접 도출해야 한다.
• D[a][b] = D[a][b-1] + D[a-1][b] 인 것을 알 수 있다.

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

/* 2775번. 부녀회장이 퇼테야 
 * */
public class Main {
	static int T, N, K;
	static int[][] D;
		
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner kb= new Scanner(System.in);
		
		D = new int[15][15];
		
		//초기화
		for(int i=0; i<15; i++) {
			D[i][1] = 1;
			D[0][i]= i;//각 i로 세팅 
		}
		//업데이트
		for(int i=1; i<15; i++) {
			for(int j=2; j<15; j++) {
				D[i][j]= D[i][j-1]+D[i-1][j]; //점화식 
			}
		}	
		//테스트케이스 개수만큼 반복하며 answer에 답 누적
		T = kb.nextInt();
		ArrayList<Integer> answer= new ArrayList<>();
		for(int i=0; i<T; i++) {
			N = kb.nextInt();
			K = kb.nextInt();
			answer.add(D[N][K]);
		}
		for(int x: answer) {
			System.out.println(x);
		}
	}
}

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🟦 백준 1010번. 다리 놓기

문제

재원이는 한 도시의 시장이 되었다. 이 도시에는 도시를 동쪽과 서쪽으로 나누는 큰 일직선 모양의 강이 흐르고 있다. 하지만 재원이는 다리가 없어서 시민들이 강을 건너는데 큰 불편을 겪고 있음을 알고 다리를 짓기로 결심하였다. 강 주변에서 다리를 짓기에 적합한 곳을 사이트라고 한다. 재원이는 강 주변을 면밀히 조사해 본 결과 강의 서쪽에는 N개의 사이트가 있고 동쪽에는 M개의 사이트가 있다는 것을 알았다. (N ≤ M)

재원이는 서쪽의 사이트와 동쪽의 사이트를 다리로 연결하려고 한다. (이때 한 사이트에는 최대 한 개의 다리만 연결될 수 있다.) 재원이는 다리를 최대한 많이 지으려고 하기 때문에 서쪽의 사이트 개수만큼 (N개) 다리를 지으려고 한다. 다리끼리는 서로 겹쳐질 수 없다고 할 때 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 그 다음 줄부터 각각의 테스트케이스에 대해 강의 서쪽과 동쪽에 있는 사이트의 개수 정수 N, M (0 < N ≤ M < 30)이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해 주어진 조건하에 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 출력한다.

풀이

• 다리끼리는 겹칠 수 없다는 부분이 중요하다. 따라서 M개의 스팟 중 N개를 선택하여 차례대로 이어주면 겹칠 일은 없을 것이다. MCN을 구한다고 생각하자
• D[M][N]을 구해야 한다.

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

/*1010번. 다리 놓기 */
public class Main {
	static long [][] D;
	
	//실행 메인 
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner kb= new Scanner(System.in);
		//초기화
		D = new long[31][31];
		
		for(int i=0; i<=30; i++) {
			D[i][0] = 1;
			D[i][i] = 1;
			D[i][1] = i;
		}
		
		//점화식으로 값 확장
		for(int i=2; i<=30; i++) {
			for(int j=1; j<i; j++) {
				D[i][j] = D[i-1][j]+D[i-1][j-1];
			}
		}
		
		int T = kb.nextInt();
		ArrayList<Long> arr= new ArrayList<>();
		for(int i=0; i<T; i++) {
			int N = kb.nextInt();
			int M = kb.nextInt();
			arr.add(D[M][N]);
		}
		for(long x : arr)System.out.println(x);
	}
}