🔎 벨만-포드 알고리즘이란?
그래프 최단 거리 구하는 알고리즘
1. 다익스트라(Dijkstra) : 특정 한 정점 -> 다른 모든 정점의 최단 거리
2. 벨만-포드(Bellman-Frod) : 특정 한 정점 -> 다른 모든 정점의 최단 거리
3. 플로이드-와샬(Floyd-Wrasahll) : 모든 정점들 간의 최단 거리
⬛ 08-6. 플로이드-워셜
🟦 플로이드-워셜 알고리즘
- 플로이드-워셜 : 모든 노드 간에 최단 경로 탐색 알고리즘
- 음수 가중치 엣지 존재해도 수행 가능
- DP 동적계획법 원리 이용하여 접근
- 전체 경로의 최단 경로는 부분 경로의 최단경로 조합이다.
//점화식
// s -> E까지의 최단 경로 vs s-> k, k->e 를 껴서 가는 경로
// 중 작은 값으로 업데이트한다.
D[S][E] = Math.min(D[S][E], D[S][K] + D[K][E] );
🟧 플로이드- 워셜 구현 방법 | 인접 행렬, 인접 리스트
- 1) 배열 선언 D[S][E] : 노드 S→E까지 최단 거리 저장하는 배열
- 자기 자신에 대해서는 0초기화 그 외 INF
- 2) 배열에 가중치 W 데이터 저장
- 3) 점화식으로 배열 업데이트 처리 : 3중 for문 돌면서 배열 값 업데이트
for 경유지 K에 관해 (1~N)
for 출발 노드 S 에 관해 (1~N)
for 도착 노드 E에 관해 (1~N)
D[S][E] = Math.min(D[S][E], D[S][K] + D[K][E] );
🏓 ‘플로이드-워샬 알고리즘’은 모든 노드 간의 최단 거리를 확인해주기 때문에 O(V3)으로 시간 복잡도 빠르지 않은 편
- 시작점을 따로 지정하지 않고 각각의 모든 노드 간의 최소 경로를 구하는 알고리즘
🟦 백준 11404번. 플로이드
문제
n(2 ≤ n ≤ 100)개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다. 각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.
모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해서 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 도시의 개수 n이 주어지고 둘째 줄에는 버스의 개수 m이 주어진다. 그리고 셋째 줄부터 m+2줄까지 다음과 같은 버스의 정보가 주어진다. 먼저 처음에는 그 버스의 출발 도시의 번호가 주어진다. 버스의 정보는 버스의 시작 도시 a, 도착 도시 b, 한 번 타는데 필요한 비용 c로 이루어져 있다. 시작 도시와 도착 도시가 같은 경우는 없다. 비용은 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.
시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.
출력
n개의 줄을 출력해야 한다. i번째 줄에 출력하는 j번째 숫자는 도시 i에서 j로 가는데 필요한 최소 비용이다. 만약, i에서 j로 갈 수 없는 경우에는 그 자리에 0을 출력한다.
🏓 INF 의 값 설정하는 법
- 간선 가중치의 최댓값 X (정점 개수 -1) 보다 큰 값을 사용하면 된다.
- 이 문제에서는 1) m = 최대 100,000 개 2) n = 100개 이다.
- 그래서 INF 값은 10^5 * 10^2 +1 = 10000001 로 설정했다.
풀이
1) 인접 행렬 초기화 (i=j 인 부분 0), 그 외는 INF
2) 인접 행렬에 입력 데이터 저장
- 데이터 저장 시, 해당 값이 distance[a][b] > w 인 경우 w 값 저장
3) 플로이드 워샬 알고리즘 수행
- K로 경유지를 1~N까지 차례로 찍기.
- 그 내부에서 i, j로 인접 행렬 하나씩 찍으면서 경유지K를 거쳐가는 distance값이 더 작을 경우 걔로 업데이트
4) 정답 출력 : distance값이 여전히 INF일 경우, 그 경로는 갈 수 없는 곳이므로 0 출력,
: 그 외에는 모두 distance값을 출력하면 된다.
- [주의] INF 값을 설정할 때, 무지성으로 Integer.MAX_VALUE 로 설정하면 오버플로우 발생
package to_0706_1;
import java.util.Scanner;
/* 11404번. 플로이드 */
public class Main {
static int N, M;
static int distance[][];
static final int INF = 10000001; //간선 가중치 10^5 * shem 10^2 + 1
//실행 메인
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner kb= new Scanner(System.in);
N= kb.nextInt();
M = kb.nextInt();
distance = new int[N+1][N+1];
//인접 행렬 초기화
for(int i=1; i<=N; i++) {
for(int j=1; j<=N; j++) {
if(i==j) distance[i][j]=0;
else {
distance[i][j] = INF;
}
}
}
//간선 개수만큼 데이터 입력받기
for(int i=0; i<M; i++) {
int a = kb.nextInt();
int b= kb.nextInt();
int w = kb.nextInt();
if(distance[a][b] > w) distance[a][b]=w;
}
//--> 플로이드 수행
for(int k=1; k<=N; k++) { //경유지 K로 찍고
//인접행렬 i,j
for(int i=1; i<=N; i++) {
for(int j=1; j<=N; j++) {
if(distance[i][j] > distance[i][k] + distance[k][j]) {
distance[i][j]= distance[i][k]+distance[k][j];///경로 업데이트
}
}
}
}
//답 출력 해야 하는데 만약 업데이트 전인 곳은 0
//그 외는 최소 비용 출력
for(int i=1; i<=N; i++) {
for(int j=1; j<=N; j++) {
if(distance[i][j] == INF) {
System.out.print("0 ");
}else {
System.out.print(distance[i][j]+" ");
}
}
System.out.println();//띄어쓰기
}
}
}
🟦 백준 11403번. 경로 찾기
문제
가중치 없는 방향 그래프 G가 주어졌을 때, 모든 정점 (i, j)에 대해서, i에서 j로 가는 길이가 양수인 경로가 있는지 없는지 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 정점의 개수 N (1 ≤ N ≤ 100)이 주어진다. 둘째 줄부터 N개 줄에는 그래프의 인접 행렬이 주어진다. i번째 줄의 j번째 숫자가 1인 경우에는 i에서 j로 가는 간선이 존재한다는 뜻이고, 0인 경우는 없다는 뜻이다. i번째 줄의 i번째 숫자는 항상 0이다.
출력
총 N개의 줄에 걸쳐서 문제의 정답을 인접행렬 형식으로 출력한다. 정점 i에서 j로 가는 길이가 양수인 경로가 있으면 i번째 줄의 j번째 숫자를 1로, 없으면 0으로 출력해야 한다.
풀이
- 이 문제는 최단 거리 구하는 문제는 아니기 때문에 기존 플로이드-워샬 알고리즘의 최단 거리 업데이트 부분만 수정하면 된다.
- 만약 K 경유지를 거쳐서 가는 S→E 경로가 연결되어 있다면 S→E에 연결 노드로 저장한다.
if(distance[S][K] ==1 && distance[K][E] ==1) {
distance[S][E] = 1;
}
- 전체 코드이다.
package to_0706_2;
import java.util.Scanner;
/*11403번. 경로찾기 */
public class Main {
//실행 메인
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner kb= new Scanner(System.in);
int N = kb.nextInt();
int [][] distance= new int [N+1][N+1];
//인접 행렬 입력 데이터 저장
for(int i=1; i<=N; i++) {
for(int j=1; j<=N; j++) {
distance[i][j]= kb.nextInt();
}
}
//플로이드 워샬 -> K 경로 경유해서 S->E 갈 수 있는지 확인 후 세팅
for(int k=1; k<=N; k++) {
for(int i=1; i<=N; i++) {
for(int j=1; j<=N; j++) {
if(distance[i][k] == 1 && distance[k][j] ==1) {
distance[i][j] = 1;
}
}
}
}
//그 결과 그대로 출력
for(int i=1; i<=N; i++) {
for(int j=1; j<=N; j++) {
System.out.print(distance[i][j]+" ");
}
System.out.println();
}
}
}
🟦 백준 1389번. 케빈 베이컨의 6단계 법칙
문제
케빈 베이컨의 6단계 법칙에 의하면 지구에 있는 모든 사람들은 최대 6단계 이내에서 서로 아는 사람으로 연결될 수 있다. 케빈 베이컨 게임은 임의의 두 사람이 최소 몇 단계 만에 이어질 수 있는지 계산하는 게임이다.
예를 들면, 전혀 상관없을 것 같은 인하대학교의 이강호와 서강대학교의 민세희는 몇 단계만에 이어질 수 있을까?
천민호는 이강호와 같은 학교에 다니는 사이이다. 천민호와 최백준은 Baekjoon Online Judge를 통해 알게 되었다. 최백준과 김선영은 같이 Startlink를 창업했다. 김선영과 김도현은 같은 학교 동아리 소속이다. 김도현과 민세희는 같은 학교에 다니는 사이로 서로 알고 있다. 즉, 이강호-천민호-최백준-김선영-김도현-민세희 와 같이 5단계만 거치면 된다.
케빈 베이컨은 미국 헐리우드 영화배우들 끼리 케빈 베이컨 게임을 했을때 나오는 단계의 총 합이 가장 적은 사람이라고 한다.
오늘은 Baekjoon Online Judge의 유저 중에서 케빈 베이컨의 수가 가장 작은 사람을 찾으려고 한다. 케빈 베이컨 수는 모든 사람과 케빈 베이컨 게임을 했을 때, 나오는 단계의 합이다.
예를 들어, BOJ의 유저가 5명이고, 1과 3, 1과 4, 2와 3, 3과 4, 4와 5가 친구인 경우를 생각해보자.
1은 2까지 3을 통해 2단계 만에, 3까지 1단계, 4까지 1단계, 5까지 4를 통해서 2단계 만에 알 수 있다. 따라서, 케빈 베이컨의 수는 2+1+1+2 = 6이다.
2는 1까지 3을 통해서 2단계 만에, 3까지 1단계 만에, 4까지 3을 통해서 2단계 만에, 5까지 3과 4를 통해서 3단계 만에 알 수 있다. 따라서, 케빈 베이컨의 수는 2+1+2+3 = 8이다.
3은 1까지 1단계, 2까지 1단계, 4까지 1단계, 5까지 4를 통해 2단계 만에 알 수 있다. 따라서, 케빈 베이컨의 수는 1+1+1+2 = 5이다.
4는 1까지 1단계, 2까지 3을 통해 2단계, 3까지 1단계, 5까지 1단계 만에 알 수 있다. 4의 케빈 베이컨의 수는 1+2+1+1 = 5가 된다.
마지막으로 5는 1까지 4를 통해 2단계, 2까지 4와 3을 통해 3단계, 3까지 4를 통해 2단계, 4까지 1단계 만에 알 수 있다. 5의 케빈 베이컨의 수는 2+3+2+1 = 8이다.
5명의 유저 중에서 케빈 베이컨의 수가 가장 작은 사람은 3과 4이다.
BOJ 유저의 수와 친구 관계가 입력으로 주어졌을 때, 케빈 베이컨의 수가 가장 작은 사람을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 유저의 수 N (2 ≤ N ≤ 100)과 친구 관계의 수 M (1 ≤ M ≤ 5,000)이 주어진다. 둘째 줄부터 M개의 줄에는 친구 관계가 주어진다. 친구 관계는 A와 B로 이루어져 있으며, A와 B가 친구라는 뜻이다. A와 B가 친구이면, B와 A도 친구이며, A와 B가 같은 경우는 없다. 친구 관계는 중복되어 들어올 수도 있으며, 친구가 한 명도 없는 사람은 없다. 또, 모든 사람은 친구 관계로 연결되어져 있다. 사람의 번호는 1부터 N까지이며, 두 사람이 같은 번호를 갖는 경우는 없다.
출력
첫째 줄에 BOJ의 유저 중에서 케빈 베이컨의 수가 가장 작은 사람을 출력한다. 그런 사람이 여러 명일 경우에는 번호가 가장 작은 사람을 출력한다.
풀이
- 입력받은 데이터는 직접 친구 관계를 형성하는 관계이므로 가중치 1로 설정.
- 만약 K친구를 경유해서 친구관계가 성립한다면 플로이드로 그 경로를 거친 단계의 깊이를 업데이트 한다.
- 그리고 각 사람 i에 대한 케빈 베이컨의 수는 i의 친구 깊이들의 수와 같다. 그러므로 각 i행에 대한 j열들의 합이 가장 작은 값을 정답으로 세팅하면 되는 문제이다.
package to_0706_3;
import java.util.Scanner;
/*1389번. 케빈 베이컨의 6단계 법칙 */
public class Main {
static int N, M;
static int [][] distance;
static final int INF = 1000001;
//실행 메인
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner kb= new Scanner(System.in);
N = kb.nextInt();
M = kb.nextInt();
distance = new int[N+1][N+1];
//초기화
for(int i = 1; i<=N; i++) {
for(int j=1; j<=N; j++) {
if(i==j) distance[i][j]=0;
else {
distance[i][j]=INF;
}
}
}
//입력 데이터 받기
for(int i=0; i<M; i++) {
int a = kb.nextInt();
int b = kb.nextInt();
//양방향
distance[a][b] = 1;
distance[b][a] = 1;
}
//플로이드 워샬로 최단 거리 즉, 친구 관계 경유 되는지
//경유 된다면 그 친구 깊이? 단계 를 업데이트
for(int k=1; k<=N; k++) {
for(int i =1; i<=N; i++) {
for(int j=1; j<=N; j++) {
if(distance[i][j] > distance[i][k] + distance[k][j] ) { //발견되면
distance[i][j] = distance[i][k]+distance[k][j];//깊이 업데이트
}
}
}
}
int min = Integer.MAX_VALUE;
int answer = -1;
for(int i=1; i<=N; i++) {
int tmp =0;
for(int j=1; j<=N; j++) {
tmp+=distance[i][j];
}
if(tmp < min) {
min = tmp;
answer =i;
}
}
System.out.println(answer);
}
}
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